2021中國海洋大學617數(shù)學分析研究生考試大綱 正文

617 數(shù)學分析

一、考試性質(zhì)
數(shù)學分析是數(shù)學、統(tǒng)計學碩士研究生入學初試考試的專業(yè)基礎(chǔ)課程。
二、考察目標
根據(jù)教育部頒發(fā)的《數(shù)學分析》教學大綱的基本要求，力求反映與數(shù)學相關(guān)的碩士學位的特點，客觀、準確、真實地測評考生對數(shù)學分析的掌握和運用情況，為國家培養(yǎng)具有良好數(shù)學基礎(chǔ)素質(zhì)和應(yīng)用能力、具有較強分析問題與解決問題能力的高層次、復(fù)合型的數(shù)學專業(yè)人才。
測試考生對一元函數(shù)微積分學、多元函數(shù)微積分學、級數(shù)理論等知識掌握的程度和運用能力。要求考生系統(tǒng)地理解數(shù)學分析的基本概念和基本理論；掌握數(shù)學分析的基本論證方法和常用結(jié)論；具備較熟練的演算技能和較強的邏輯推理能力及初步的應(yīng)用能力。
三、考試形式
閉卷考試，滿分為150分，考試時間為180分鐘。
試卷結(jié)構(gòu)：一元函數(shù)微積分學、多元函數(shù)微積分學、級數(shù)理論及其他（隱函數(shù)理論、場論等）考核的比例均約為1/3，分值均約為50分。
四、考試內(nèi)容
(一) 變量與函數(shù)
1、實數(shù)：實數(shù)的概念、性質(zhì)，區(qū)間，鄰域；
2、函數(shù)：變量，函數(shù)的定義，函數(shù)的表示法，幾何特征（有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、奇偶函數(shù)、周期函數(shù)），運算（四則運算、復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)），基本初等函數(shù)，初等函數(shù)。
(二) 極限與連續(xù)
1、數(shù)列極限：定義（e-N語言），性質(zhì)（唯一性，有界性，保號性，不等式性、迫斂性），數(shù)列極限的運算，數(shù)列極限存在的條件（單調(diào)有界準則（重要的數(shù)列極限），迫斂性法則，柯西收斂準則）；
2、無窮小量與無窮大量：定義，性質(zhì)，運算，階的比較；
3、函數(shù)極限：概念（在一點的極限，單側(cè)極限，在無限遠處的極限，函數(shù)值趨于無窮大的情形（e-d, e-X語言））；性質(zhì)（唯一性，局部有界性，局部保號性，不等式性，迫斂性）；函數(shù)極限存在的條件（迫斂性法則，歸結(jié)原則（Heine定理），柯西收斂準則）；運算；
4、兩個常用不等式和兩個重要函數(shù)極限（，）；
5、連續(xù)函數(shù)：概念（在一點連續(xù)，單側(cè)連續(xù)，在區(qū)間連續(xù)），不連續(xù)點及其分類；連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)與運算（局部性質(zhì)及運算，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最值性、零點存在性，介值性、一致連續(xù)性），復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，反函數(shù)的連續(xù)性）；初等函數(shù)的連續(xù)性。
（三）實數(shù)的基本定理及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明
1、概念：子列，上、下確界，區(qū)間套，區(qū)間覆蓋；
2、關(guān)于實數(shù)的基本定理：六個等價定理（確界存在定理、單調(diào)有界定理、區(qū)間套定理、致密性定理、柯西收斂原理、有限覆蓋定理）；
3、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明：有界性定理的證明，最值性定理的證明，零點存在定理的證明，反函數(shù)連續(xù)性定理的證明；一致連續(xù)性定理的證明。
（四）導(dǎo)數(shù)與微分
1、導(dǎo)數(shù)：來源背景，定義（在一點導(dǎo)數(shù)的定義、單側(cè)導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)函數(shù)），導(dǎo)數(shù)的幾何意義，簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（常數(shù)、正弦函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)），求導(dǎo)法則（四則運算，反函數(shù)的求導(dǎo)法則，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，隱函數(shù)的求導(dǎo)法則，參數(shù)方程所表示函數(shù)的求導(dǎo)法則）；
2、微分：定義，運算法則，簡單應(yīng)用；
3、高階導(dǎo)數(shù)與高階微分：定義，運算法則。
（五）微分學基本定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
1、中值定理：費馬（Fermat）定理，中值定理（羅爾（Rolle）中值定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西(Cauchy)中值定理）；
2、泰勒公式及應(yīng)用（近似計算，誤差估計）；
3、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，函數(shù)凸性與拐點，平面曲線的曲率，七種待定型與洛必達（L’Hospital）法則；
（六）不定積分
1、不定積分:概念，基本公式，運算法則，計算（換元積分法、分部積分法、有理函數(shù)積分法，其他類型積分）。
（七）定積分
1、定積分：來源背景，概念，函數(shù)可積的必要條件，達布上、下和，定積分存在的充要條件，可積函數(shù)類（閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，分段連續(xù)函數(shù)，單調(diào)有界函數(shù))，定積分的性質(zhì)，定積分的計算（基本公式、換元公式、分部積分公式）；
2、變上限定積分：定義，性質(zhì)。
（八）定積分的應(yīng)用
1、定積分在幾何上的應(yīng)用：平面圖形的面積，曲線的弧長，截面已知的立體體積，旋轉(zhuǎn)體的體積，旋轉(zhuǎn)曲面的面積；
2、定積分在物理上的應(yīng)用：功、壓力、引力；
3、微元法。
（九）數(shù)項級數(shù)
1、預(yù)備知識：上、下極限；
2、級數(shù)的斂散性：無窮級數(shù)收斂、發(fā)散等概念，柯西收斂原理，收斂級數(shù)的基本性質(zhì)；
3、正項級數(shù)：定義，斂散判別（基本定理，比較判別法，柯西判別法，達朗貝爾判別法，柯西積分判別法）；
4、任意項級數(shù)：絕對收斂級數(shù)與條件收斂級數(shù)的概念和性質(zhì)，交錯級數(shù)與萊布尼茲判別法，阿貝爾（Abel）判別法與狄利克雷（Dirichlet）判別法。
（十）反常積分
1、反常積分：無窮限的反常積分的概念、性質(zhì)，斂散判別法（柯西收斂原理，比較判別法，狄利克雷判別法、阿貝爾判別法）；無界函數(shù)的反常積分的概念、性質(zhì)，斂散判別法。
（十一）函數(shù)項級數(shù)、冪級數(shù)
1、函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性：函數(shù)項級數(shù)以及函數(shù)列的概念，函數(shù)項級數(shù)以及函數(shù)列一致收斂的概念，一致收斂判別法（柯西收斂原理，優(yōu)級數(shù)判別法，狄利克雷判別法與阿貝爾判別法）；一致收斂的函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)（連續(xù)性，可積性，可微性）；
2、冪級數(shù)：阿貝爾第一、第二定理，收斂半徑與收斂區(qū)間，冪級數(shù)的一致收斂性，冪級數(shù)和函數(shù)的分析性質(zhì)（連續(xù)性，可積性，可微性），泰勒（Taylor）級數(shù)與幾種常見的初等函數(shù)的冪級數(shù)展開。
（十二）傅里葉級數(shù)
1、傅里葉級數(shù)：引進，三角函數(shù)系的正性, 傅里葉系數(shù)與傅里葉級數(shù)，以為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開，以（）為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開，奇偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開，傅里葉級數(shù)收斂定理的證明。
（十三）多元函數(shù)的極限與連續(xù)
1、平面點集：鄰域，點列的極限，開集，閉集，區(qū)域，平面點集的幾個基本定理；
2、二元函數(shù)：概念，二重極限和二次極限，連續(xù)性（連續(xù)的概念、連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的整體性質(zhì)）。
（十四）偏導(dǎo)數(shù)和全微分
1、偏導(dǎo)數(shù)和全微分：偏導(dǎo)數(shù)的概念，幾何意義；全微分的概念；二元函數(shù)的連續(xù)性、可微性，偏導(dǎo)存在的關(guān)系；復(fù)合函數(shù)微分法（鏈式法則）；由方程組所確定的函數(shù)（隱函數(shù)）的求導(dǎo)法；
2、偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線；方向?qū)?shù)與梯度；泰勒公式。
（十五）極值和條件極值
1、極值：概念，判別（必要條件、充分條件），應(yīng)用，最小二乘法；
2、條件極值：概念，拉格朗日乘數(shù)法，應(yīng)用。
（十六）隱函數(shù)存在定理
1、隱函數(shù)：概念，存在定理；
2、隱函數(shù)組：隱函數(shù)組存在定理，反函數(shù)組與坐標變換，雅可比行列式。
（十七）含參變量積分與含參變量廣義積分
1、含參變量的正常積分：定義，性質(zhì)（連續(xù)性、可微性、可積性）；
2、含參變量的反常積分：定義，一致收斂的定義，一致收斂積分的判別法（柯西收斂原理、魏爾斯特拉斯判別法、阿貝爾判別法、狄立克雷判別法），一致收斂積分的性質(zhì)（連續(xù)性、可微性、可積性）；
3、歐拉積分：函數(shù)和函數(shù)的定義、性質(zhì)。
（十八）重積分的計算及應(yīng)用
1、二重積分：二重積分的概念，性質(zhì)，計算（化二重積分為二次積分，換元法（極坐標變換，一般變換）；
2、三重積分：計算（化三重積分為三次積分, 換元法（一般變換，柱面坐標變換，球面坐標變換））；
3、重積分的應(yīng)用：立體體積，曲面的面積，物體的質(zhì)心，矩，引力，轉(zhuǎn)動慣量；
（十九）曲線積分與曲面積分
1、曲線積分：第一型曲線積分及第二型曲線積分的來源背景、概念、性質(zhì)、應(yīng)用與計算，兩類曲線積分的聯(lián)系； 
2、曲面積分：第一型曲面積分及第二型曲面積分的來源背景、概念、性質(zhì)、應(yīng)用與計算，兩類曲面積分的聯(lián)系。
（二十）各種積分間的聯(lián)系和場論初步
1、各種積分間的聯(lián)系公式：格林（Green）公式，高斯（Gauss）公式，斯托克斯(Stokes)公式；
2、曲線積分與路徑無關(guān)性：四個等價條件。
3、場論初步：場的概念，梯度，散度和旋度，保守場，哈密頓算子（算子）。
五、是否需使用計算器
否。

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