2021年碩士研究生入學(xué)考試自命題科目

考試大綱

考試階段：復(fù)試 科目滿分值：100

考試科目：點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué) 科目代碼：

考試方式：閉卷筆試 考試時(shí)長(zhǎng)：180分鐘

一、科目的總體要求

要求考生全面系統(tǒng)地掌握點(diǎn)集拓?fù)淅碚摰幕局R(shí)，具備較強(qiáng)的分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力。

二、考核內(nèi)容與考核要求

《拓?fù)鋵W(xué)》共包含3個(gè)部分的內(nèi)容，其中，拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射（約30分）、拓?fù)淇臻g運(yùn)算（子空間、積空間、商空間）（約20分）、拓?fù)淇臻g性質(zhì)（連通性、可數(shù)性、分離性、緊致性）（約50分）。

第一部分拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射

考核內(nèi)容：度量空間和連續(xù)映射拓?fù)淇臻g和連續(xù)映射鄰域與鄰域系導(dǎo)集閉集閉包內(nèi)部邊界基與子基拓?fù)淇臻g中的序列

考核要求：

對(duì)度量空間、拓?fù)淇臻g、開(kāi)集、鄰域、映射在一點(diǎn)連續(xù)、連續(xù)映射、度量誘導(dǎo)的拓?fù)?、可度量化空間、同胚、拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)、鄰域系、聚點(diǎn)、孤立點(diǎn)、閉集、閉包、內(nèi)點(diǎn)、內(nèi)部、邊界點(diǎn)、邊界、基、子基、鄰域基、鄰域子基、序列、序列的極限點(diǎn)、收斂、子序列等概念要求識(shí)記，掌握它們的性質(zhì)，并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題；

（2）掌握拓?fù)淇臻g的驗(yàn)證方法，及一些比較特殊的拓?fù)淇臻g（離散拓?fù)淇臻g，平庸拓?fù)淇臻g，可數(shù)補(bǔ)空間，有限補(bǔ)空間等）；

（3）理解拓?fù)淇臻g的定義及有關(guān)拓?fù)淇臻g的概念，拓?fù)淇臻g連續(xù)映射的定義，連續(xù)映射的一些等價(jià)定義。

第二部分拓?fù)淇臻g運(yùn)算

考核內(nèi)容：子空間有限積空間商空間

考核要求：

（1）對(duì)子空間拓?fù)洌邢薹e拓?fù)洌掏負(fù)?、嵌入、積空間、投射、商映射、商空間、開(kāi)（閉）映射的定義要求識(shí)記；

（2）理解子空間拓?fù)?、有限積拓?fù)浜蜕掏負(fù)渑c原拓?fù)淇臻g拓?fù)涞年P(guān)系；

（3）掌握子空間拓?fù)?，有限積拓?fù)?，商拓?fù)淇臻g中的開(kāi)集的特點(diǎn)與性質(zhì)；

（4）會(huì)應(yīng)用子空間、有限積空間、商空間的性質(zhì)。

第三部分拓?fù)淇臻g性質(zhì)

1.連通性

考核內(nèi)容：連通性的應(yīng)用連通分支局部連通空間道路連通空間道路連通分支

考核要求：

（1）對(duì)連通空間、道路連通空間、局部連通空間、有限可積性質(zhì)、連通子集、連通分支、局部連通空間、道路連通空間等概念要求識(shí)記；

（2）理解連通子集，連續(xù)映射保持不變的性質(zhì)；

（3）掌握連通空間、道路連通空間、局部連通空間、有限可積性質(zhì)、連通子集、連通分支、局部連通空間、道路連通空間的性質(zhì)，掌握連通空間、道路連通空間、局部連通空間判定方法；

（4）會(huì)應(yīng)用連通空間、道路連通空間、局部連通空間、有限可積性質(zhì)、連通子集、連通分支、局部連通空間、道路連通空間的性質(zhì)。

2.可數(shù)性

考核內(nèi)容：第一可數(shù)性公理第二可數(shù)性公理可分空間Lindeloff空間

考核要求：

（1）對(duì)可數(shù)性公理、可分空間、Lindeloff空間等概念要求識(shí)記；

（2）理解A2空間和A1空間的關(guān)系，可數(shù)性公理的可遺傳性質(zhì)及有限可積性質(zhì)；

（3）掌握可數(shù)性公理、可分空間、Lindeloff空間的性質(zhì)；

（4）會(huì)應(yīng)用可數(shù)性公理、可分空間、Lindeloff空間的性質(zhì)。

3.分離性

考核內(nèi)容：T0、T1、Hausdorff空間正則空間正規(guī)空間T3、T4空間Urysohn引理Tietze擴(kuò)張定理完全正則空間Tychonoff空間分離性公理與子空間有限積空間和商空間可度量化空間

考核要求：

（1）對(duì)T0、T1、T2、T3、T4、正則、正規(guī)、完全正則空間、Tychonoff空間等概念要求識(shí)記解；

（2）理解Urysohn引理，Tietze擴(kuò)張定理、Urysohn嵌入定理的內(nèi)容及證明方法；

（3）掌握T0、T1、正則、正規(guī)、完全正則、Tychonoff空間的性質(zhì)；

（4）會(huì)應(yīng)用T0、T1、正則、正規(guī)、完全正則、Tychonoff空間的性質(zhì)。

4.緊致性

考核內(nèi)容：緊致空間緊致性與分離性公理幾種緊致性以及其間關(guān)系度量空間中的緊致性局部緊致空間

考核要求：

（1）對(duì)緊致、可數(shù)緊致、列緊、序列緊致、局部緊致空間等概念要求識(shí)記；

（2）理解緊致、可數(shù)緊致、列緊、序列緊致的性質(zhì)及其相互關(guān)系；

（3）掌握緊致、緊致子集、可數(shù)緊致、列緊、序列緊致的性質(zhì)，緊致空間、緊致子集、可數(shù)緊致、列緊、序列緊致空間的判別方法，緊致性和分離性公理的關(guān)系；

（4）會(huì)應(yīng)用緊致、可數(shù)緊致、列緊、序列緊致的性質(zhì)。

三、題型結(jié)構(gòu)

考試滿分100分，其中計(jì)算題約15分，證明題約85分。

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