2021長沙理工大學(xué)高等代數(shù)研究生參考書目及考試大綱 正文

科目代碼：837 科目名稱：高等代數(shù)
一、考試要求
1、掌握一元多項(xiàng)式相關(guān)概念，帶余除法，能求兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式，因式分解定理，重因式，多項(xiàng)式的根在探討多項(xiàng)式的整除性與不可約性中的應(yīng)用，復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解，有理系數(shù)多項(xiàng)式的根及艾森斯坦因判別法。
2、理解行列式的概念和基本性質(zhì)，掌握行列式展開定理及行列式的計(jì)算。
3、掌握向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)性、向量組的秩及矩陣的秩的概念，能進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算和證明，熟練掌握線性方程組有解的判別、線性方程組解的結(jié)構(gòu)及線性方程組的解法及有關(guān)證明。
4、掌握矩陣的概念及矩陣的運(yùn)算，矩陣乘積的行列式與秩的性質(zhì)，矩陣可逆的充要條件，逆矩陣的求法，矩陣方程的求解，矩陣與分塊矩陣的初等變換及（廣義）初等矩陣在矩陣的行列式與秩的計(jì)算與證明中的應(yīng)用。
5、理解二次型及其矩陣表示、標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形及矩陣合同的概念，掌握實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形的求法、慣性定理、二次型（矩陣）正定的等價(jià)條件及其在相關(guān)計(jì)算和證明中的應(yīng)用。
六、理解線性空間中關(guān)于維數(shù)、基與坐標(biāo)、基變換與坐標(biāo)變換、線性子空間、子空間的交與和及直和、線性空間的同構(gòu)的概念，掌握相關(guān)的計(jì)算和證明。
七、理解線性變換的定義、線性變換的運(yùn)算、線性變換的矩陣、線性變換（矩陣）特征值與特征向量、線性變換（矩陣）的對(duì)角化、線性變換的值域與核、不變子空間、最小多項(xiàng)式的概念及有關(guān)性質(zhì)，掌握相關(guān)的計(jì)算和證明，掌握Hamlton-Cayley定理及其應(yīng)用。
八、理解λ-矩陣、λ-矩陣在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)形、不變因子、行列式因子、初等因子、Jordan塊與Jordan標(biāo)準(zhǔn)形、伴侶陣與有理標(biāo)準(zhǔn)形的概念及有關(guān)性質(zhì)，掌握相關(guān)的計(jì)算和證明，掌握矩陣相似的條件，能求矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形和矩陣的有理標(biāo)準(zhǔn)形。
九、理解歐氏空間、度量矩陣、標(biāo)準(zhǔn)正交基、正交變換、對(duì)稱變換、子空間正交及正交補(bǔ)的概念及有關(guān)性質(zhì)，掌握Schmit正交化標(biāo)準(zhǔn)正交基的方法，掌握實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)、用正交變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形及實(shí)對(duì)稱矩陣的正交對(duì)角化的相關(guān)計(jì)算與證明。
二、考試內(nèi)容
1、一元多項(xiàng)式，整除的概念，最大公因式，因式分解定理，重因式，多項(xiàng)式函數(shù)，復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解，有理系數(shù)多項(xiàng)式。
 2、行列式的概念和基本性質(zhì)，行列式展開定理，行列式的計(jì)算。
3、向量的概念，向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)性，向量組的秩，矩陣的秩，線性方程組有解的判別，線性方程組解的結(jié)構(gòu)，線性方程組的解法 。
4、矩陣的運(yùn)算，矩陣乘積的行列式與秩，矩陣的逆，矩陣的分塊，初等矩陣，分塊乘法的初等變換。
5、二次型及其矩陣表示，標(biāo)準(zhǔn)形及規(guī)范形，正定二次型。
6、線性空間的定義及簡單性質(zhì)，維數(shù)，基與坐標(biāo)，基變換與坐標(biāo)變換，線性子空間，子空間的交與和及直和，線性空間的同構(gòu)。
7、線性變換的定義，線性變換的運(yùn)算，線性變換的矩陣，特征值與特征向量，對(duì)角矩陣，線性變換的值域與核，不變子空間，最小多項(xiàng)式。
8、λ-矩陣的定義，λ-矩陣在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)形，不變因子，行列式因子，初等因子，矩陣相似的條件，矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，矩陣的有理標(biāo)準(zhǔn)形。
9、歐氏空間定義與基本性質(zhì)，標(biāo)準(zhǔn)正交基，同構(gòu)，正交變換，子空間，實(shí)對(duì)稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形。
三、題型
試卷滿分為150分，其中：計(jì)算題占50%，證明題占50%。
四、參考教材
1．《高等代數(shù)》．北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室編．王萼芳，石生明修訂，高等教育出版社，2003，第三版。

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