吉首大學(xué)碩士研究生入學(xué)考試自命題考試大綱

考試科目代碼：[714]

考試科目名稱：高等數(shù)學(xué)

第一部分

考試形式與試卷結(jié)構(gòu)

一、試卷成績(jī)及考試時(shí)間

本試卷滿分為 150 分，考試時(shí)間為 180 分鐘。

二、答題方式

答題方式為閉卷、筆試

三、題型結(jié)構(gòu)

（一）單項(xiàng)選擇題 ：8 小題，每小題 4 分，共 32 分

（二）填空題：6 小題，每小題 4 分，共 24 分

（三）解答題（包括證明題）： 9 小題，共 94 分

第二部分

考試內(nèi)容與考試要求

一、函數(shù)、極限、連續(xù)

考試內(nèi)容

函數(shù)的概念及表示法，函數(shù)的有界性，單調(diào)性，周期性和奇偶性， 復(fù)合函數(shù)，反函數(shù)，

分段函數(shù)和隱函數(shù)，基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，初等函數(shù)，函數(shù)關(guān)系的建立．

數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì)，函數(shù)的左極限和右極限，無窮小量和無窮大量的

概念及其關(guān)系，無窮小量的性質(zhì)及無窮小量的比較， 極限的四則運(yùn)算， 極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)

則：?jiǎn)握{(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則，兩個(gè)重要極限：

0

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函數(shù)連續(xù)的概念，函數(shù)間斷點(diǎn)的類型，初等函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)．

考試要求

1．理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，會(huì)建立應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系．

2．了解函數(shù)的有界性，單調(diào)性，周期性和奇偶性．

3．理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念．

4．掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，了解初等函數(shù)的概念．

5．了解數(shù)列極限和函數(shù)極限（包括左極限與右極限）的概念．

6．了解極限的性質(zhì)與極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則，掌握極限的四則運(yùn)算法則，掌握利用兩個(gè)

重要極限求極限的方法．

7．理解無窮小的概念和基本性質(zhì)，掌握無窮小量的比較方法，了解無窮大量的概念及

其與無窮小量的關(guān)系．

8．理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型．

9．了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、

最大值和最小值定理．介值定理)，并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)．

二、一元函數(shù)微分學(xué)考試內(nèi)容

導(dǎo)數(shù)和微分的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義， 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系，平面曲線

的切線與法線，導(dǎo)數(shù)和微分的四則運(yùn)算， 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)， 復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)和隱函

數(shù)的微分法，高階導(dǎo)數(shù)，一階微分形式的不變性，微分中值定理，洛必達(dá)（L'Hospital）法

則，函數(shù)單調(diào)性的判別，函數(shù)的極值，函數(shù)圖形的凹凸性，拐點(diǎn)及漸近線，函數(shù)圖形的描繪，

函數(shù)的最大值與最小值．

考試要求

1．理解導(dǎo)數(shù)的概念及可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系，了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義與經(jīng)濟(jì)意義（含

邊際與彈性的概念），會(huì)求平面曲線的切線方程和法線方程．

2．掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會(huì)求

分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 會(huì)求反函數(shù)與隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．

3．了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)．

4．了解微分的概念，導(dǎo)數(shù)與微分之間的關(guān)系以及一階微分形式的不變性，會(huì)求函數(shù)的

微分．

5．理解羅爾( Rolle)定理，拉格朗日( Lagrange)中值定理，了解泰勒定理．柯西(Cauchy)

中值定理，掌握這四個(gè)定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用．

6．會(huì)用洛必達(dá)法則求極限．

7．掌握函數(shù)單調(diào)性的判別方法，了解函數(shù)極值的概念，掌握函數(shù)極值、最大值和最小

值的求法及其應(yīng)用．

8．會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性（注：在區(qū)間(a,b)內(nèi)，設(shè)函數(shù) f (x) 具有二階導(dǎo)數(shù)．當(dāng)

f ??(x) ? 0 時(shí)， f (x) 的圖形是凹的；當(dāng) f ??(x) ? 0 時(shí)， f (x) 的圖形是凸的），會(huì)求函數(shù)圖形

的拐點(diǎn)和漸近線．

9．會(huì)描述簡(jiǎn)單函數(shù)的圖形．

三、一元函數(shù)積分學(xué)

考試內(nèi)容

原函數(shù)和不定積分的概念，不定積分的基本性質(zhì)，基本積分公式，定積分的概念和基本

性質(zhì)，定積分中值定理，積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，牛頓一萊布尼茨（Newton-Leibniz）公

式,不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法，反常（廣義）積分，定積分的應(yīng)用.

考試要求

1．理解原函數(shù)與不定積分的概念，掌握不定積分的基本性質(zhì)和基本積分公式，掌握不

定積分的換元積分法和分部積分法．

2．了解定積分的概念和基本性質(zhì)，了解定積分中值定理，理解積分上限的函數(shù)并會(huì)求

它的導(dǎo)數(shù)，掌握牛頓一萊布尼茨公式以及定積分的換元積分法和分部積分法．

3．會(huì)利用定積分計(jì)算平面圖形的面積，旋轉(zhuǎn)體的體積，會(huì)利用定積分求解簡(jiǎn)單的應(yīng)用

問題．

4．了解反常積分的概念，會(huì)計(jì)算反常積分．

四、多元函數(shù)微積分學(xué)

考試內(nèi)容

多元函數(shù)的概念 ，二元函數(shù)的幾何意義 ，二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念 ，有界閉區(qū)

域上二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念與計(jì)算，多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法與隱函數(shù)

求導(dǎo)法， 二階偏導(dǎo)數(shù)， 全微分， 多元函數(shù)的極值和條件極值，最大值和最小值． 二重積分的概念，基本性質(zhì)和計(jì)算.

考試要求

1．了解多元函數(shù)的概念，了解二元函數(shù)的幾何意義．

2．了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念，了解有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)．

3．了解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念,會(huì)求多元復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)，會(huì)求全

微分,會(huì)求多元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)．

4．了解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二

元函數(shù)極值存在的充分條件，會(huì)求二元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會(huì)求

簡(jiǎn)單多元函數(shù)的最大值和最小值，并會(huì)解決簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題．

5．了解二重積分的概念與基本性質(zhì)，掌握二重積分的計(jì)算方法（直角坐標(biāo)．極坐標(biāo)）．

五、無窮級(jí)數(shù)

考試內(nèi)容

常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的概念，收斂級(jí)數(shù)的和的概念，級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條

件，幾何級(jí)數(shù)與 p 級(jí)數(shù)及其收斂性，正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別法，任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與

條件收斂，交錯(cuò)級(jí)數(shù)與萊布尼茨定理，冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑．收斂區(qū)間（指開區(qū)間）和收斂

域，冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)，簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的求法，初

等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式.

考試要求

1．了解級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散，收斂級(jí)數(shù)的和的概念．

2．了解級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)和級(jí)數(shù)收斂的必要條件，掌握幾何級(jí)數(shù)及 p 級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散

的條件，掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法．

3．了解任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念以及絕對(duì)收斂與收斂的關(guān)系，了解交錯(cuò)

級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法．

4．會(huì)求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域．

5．了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分），

會(huì)求簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)．

6．了解ex

，sin x ，cos x ，ln(1? x) 及(1? x)? 的麥克勞林（Maclaurin）展開式．

六、常微分方程

考試內(nèi)容

常微分方程的基本概念，變量可分離的微分方程，齊次微分方程，一階線性微分方程，

線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理，二階常系數(shù)齊次線性微分方程及簡(jiǎn)單的非齊次線性

微分方程，微分方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用．

考試要求

1．了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念．

2．掌握變量可分離的微分方程，齊次微分方程和一階線性微分方程的求解方法．

3．會(huì)解二階常系數(shù)齊次線性微分方程．

4．了解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理，會(huì)解自由項(xiàng)為多項(xiàng)式，指數(shù)函數(shù)，正

弦函數(shù)，余弦函數(shù)的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程．

5．會(huì)用微分方程求解簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題．

第三部分

參考書目

1、《高等數(shù)學(xué)》（上、下冊(cè)），黃立宏主編，復(fù)旦大學(xué)出版社，第四版。2、《高等數(shù)學(xué)》（上、下冊(cè)），同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系主編，高等教育出版社，第七版。

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