2021天津大學(xué)高等代數(shù)專業(yè)研究生考試大綱 正文

一、 考試的總體要求
要求考生比較系統(tǒng)地理解高等代數(shù)的基本概念和基本理論，掌握代數(shù)的基本方法，要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、運(yùn)算能力、綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力。
二、考試的內(nèi)容及比例
1．多項(xiàng)式：數(shù)域，二元多項(xiàng)式、整除、最大公因式、互素、不可約多項(xiàng)式、因式分解定理、重因式、多項(xiàng)式、函數(shù)、復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解，有理系數(shù)多項(xiàng)式，多元多項(xiàng)式。2．行列式：排列，n 階行列式的定義，n 階行列式的性質(zhì)及計(jì)算，行列式展開(kāi)（按一行(一列)展開(kāi)，拉普拉斯定理）克萊姆法則。
3. 矩陣：矩陣的概念，矩陣的運(yùn)算，逆矩陣、矩陣乘積的行列式、分塊矩陣、初等矩陣、初等變換，分塊矩陣和初等變換及其應(yīng)用，矩陣的秩。
4. 線性方程組：n 維向量空間，n 維向量的線性相關(guān)性，向量組的極大線性無(wú)關(guān)組，向量組的秩和線性方程組的解法、有解的判別原理、解的結(jié)構(gòu)。
5. 二次型：二次型及其矩陣表示，二次型的標(biāo)準(zhǔn)型、唯一性、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，正定二次型。
6. 線性空間：集合、映射、線性空間的定義與性質(zhì)?；?、維數(shù)與坐標(biāo)、基變換與坐標(biāo)變換， 線性子空間，子空間的交與和，直和，線性空間的同構(gòu)。
7. 線性變換的定義及其運(yùn)算，線性變交換的矩陣，特征值與特征向量，對(duì)角矩陣，線性變換的值域與核、不變子空間。
8. λ-矩陣：λ-矩陣的概念，λ 的矩陣在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)型，行列式因子，不變因子，及初等因子，矩陣相似的條件，矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型及理論推導(dǎo)。
9. 歐幾里德空間：歐幾里德空間的定義與基本性質(zhì)，標(biāo)準(zhǔn)正交基，歐氏空間的同構(gòu)和正交變換，子空間及其正交系，正交補(bǔ)，對(duì)稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形。向量到子空間的距離，最小二乘法， 酉空間。
各部分占 10%左右。三、考試的題型及比例
1．計(jì)算題約占 50%。 2．證明題約占 50%。四、考試形式及時(shí)間
考試形式均為筆試。考試時(shí)間為三小時(shí)。（滿分 150 分）

天津大學(xué)

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