2021浙江海洋大學(xué)613高等代數(shù)研究生考試大綱

發(fā)布時(shí)間：2021-01-28 編輯：考研派小莉推薦訪問：

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2021浙江海洋大學(xué)613高等代數(shù)研究生考試大綱正文

613《高等代數(shù)》

一、考查目標(biāo)
“高等代數(shù)”是數(shù)學(xué)類專業(yè)的基礎(chǔ)課，它是研究線性系統(tǒng)和線性結(jié)構(gòu)的一門數(shù)學(xué)學(xué)科，是幾乎所有數(shù)學(xué)后續(xù)課程的先修課程, 并且在自然科學(xué)的各個(gè)分支中有廣泛而深刻的應(yīng)用。該課程考查考生對高等代數(shù)的基本概念、主要理論、重要方法的掌握程度，同時(shí)考查考生的數(shù)   學(xué)抽象思維、邏輯推理及運(yùn)算求解能力，提高分析問題、解決問題能力。
二、試卷結(jié)構(gòu)

1、題型結(jié)構(gòu)

填空題（45 分）、解答題（105 分），共計(jì) 150 分。

2、內(nèi)容結(jié)構(gòu)
考試內(nèi)容主要包括多項(xiàng)式理論、行列式、線性方程組、矩陣?yán)碚摗⒍涡?、線性空間、線性變換、λ-矩陣、歐氏空間等九個(gè)部分，其中每個(gè)部分分值比例約在 10%—20%。
三、考試內(nèi)容和要求
（一）多項(xiàng)式理論：多項(xiàng)式的整除，最大公因式，多項(xiàng)式的互素，不可約多項(xiàng)式與因式分解，重因式重根的判別，多項(xiàng)式函數(shù)與多項(xiàng)式的根。
重點(diǎn)掌握：重要定理的證明，如多項(xiàng)式的整除性質(zhì)，不可約多項(xiàng)式的性質(zhì), 整系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解定理等。運(yùn)用多項(xiàng)式理論證明有關(guān)問題，如與多項(xiàng)式的互素和不可約多項(xiàng)式的   性質(zhì)有關(guān)問題的證明與應(yīng)用以及用多項(xiàng)式函數(shù)方法證明有關(guān)的問題。
（二）行列式：行列式的定義、性質(zhì)和常用計(jì)算方法（如：三角形法、加邊法、降階法、遞推法、按一行一列展開法、Laplace 展開法等）。
重點(diǎn)掌握：n 階行列式的計(jì)算及應(yīng)用。
（三）線性方程組：向量組線性相（無）關(guān)的判別。向量組極大線性無關(guān)組的性質(zhì)、向量組之間秩的大小關(guān)系、矩陣的秩、Cramer 法則，線性方程組有（無）解的判別定理、齊次線性方程組有非零解條件（用系數(shù)矩陣的秩進(jìn)行判別、用行列式判別、用方程個(gè)數(shù)判別）、   基礎(chǔ)解系的計(jì)算及其性質(zhì)、通解的求法，非齊次線性方程組的解法和解的結(jié)構(gòu)。
重點(diǎn)掌握：向量組線性相（無）關(guān)的判別、向量組之間秩與矩陣的秩、齊次線性方程組有非零解條件及基礎(chǔ)解系的性質(zhì)、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)與其計(jì)算。
（四）矩陣?yán)碚摚壕仃嚨倪\(yùn)算，矩陣的初等變換與初等矩陣的關(guān)系及其應(yīng)用（求解線性方程組、求逆矩陣、求向量組的秩）、矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形、矩陣可逆的條件（與行列式、矩陣的秩、初等矩陣的關(guān)系）、伴隨矩陣及其性質(zhì)、分塊矩陣、矩陣的常用分解（如：等價(jià)分解，滿秩分解，實(shí)可逆陣的正交三角分解等），幾種特殊矩陣的常用性質(zhì)（如：對稱矩陣與反對稱矩陣，伴隨矩陣、冪等矩陣，冪零矩陣，正交矩陣等）。
重點(diǎn)掌握：矩陣的逆與伴隨矩陣的性質(zhì)與求法，應(yīng)用矩陣?yán)碚摻鉀Q一些相關(guān)問題。

（五）二次型理論：化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形，實(shí)二次型在合同變換之下的規(guī)范型以   及在正交變換之下的標(biāo)準(zhǔn)型的求法、慣性定律的應(yīng)用，正定、半正定矩陣的判別及應(yīng)用、正   定矩陣的一些重要結(jié)論及其應(yīng)用。
重點(diǎn)掌握：正定和半正定矩陣有關(guān)的證明，實(shí)二次型在合同變換之下的規(guī)范型以及在正交變換之下的標(biāo)準(zhǔn)型的計(jì)算。
（六）線性空間：線性空間、子空間的定義及性質(zhì)、求線性空間中向量組的秩、求線性
（子）空間的基與維數(shù)的方法、基擴(kuò)充定理，維數(shù)公式，基變換與坐標(biāo)變換，生成子空間，   子空間直和，一些常見的子空間（線性方程組解的解空間、矩陣空間、多項(xiàng)式空間、函數(shù)空間、線性變換的特征子空間和不變子空間）。
重點(diǎn)掌握：向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)的綜合證明，求線性（子）空間的基與維數(shù)的方法，維數(shù)公式的證明及應(yīng)用，特別是子空間直和的有關(guān)證明。
（七）線性變換：線性變換的定義與運(yùn)算，線性變換與 n 階矩陣的對應(yīng)定理，矩陣的特征多項(xiàng)式（包括最小多項(xiàng)式）及其有關(guān)性質(zhì)，求線性變換的矩陣和特征值以及特征向量的方   法，線性無關(guān)特征向量的判別及最大個(gè)數(shù)，實(shí)對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)，特征子   空間，不變子空間，核與值域的定理. 線性變換（包括矩陣）可對角化的條件，Hamilton－ Caylay 定理。
重點(diǎn)掌握：線性變換（包括矩陣）的對角化，求線性變換的矩陣和特征值以及特征向量的方法，線性變換（矩陣）的特征值以及特征向量的性質(zhì)，線性變換的核與值域。
（八）λ-矩陣：λ-矩陣的初等變換，λ-矩陣的標(biāo)準(zhǔn)型，行列式因子，不變因子，初等因子，三種因子之間的關(guān)系，Jordan 標(biāo)準(zhǔn)型理論。
重點(diǎn)掌握：求矩陣的三種因子、Jordan 標(biāo)準(zhǔn)型。
（九）歐氏空間: 內(nèi)積和歐氏空間的定義及簡單性質(zhì)（柯西-施瓦茲不等式，三角不等式，勾股定理等）。度量矩陣與標(biāo)準(zhǔn)正交基的求法以及性質(zhì)的證明和應(yīng)用，正交變換（正交矩陣）的等價(jià)條件，對稱變換，求正交矩陣 T，使實(shí)對稱矩陣 A 正交相似于對角矩陣。
重點(diǎn)掌握：歐氏空間的概念，標(biāo)準(zhǔn)正交基，Schmidt 正交化方法，正交變換和對稱變換。

四、推薦書目：
1、《高等代數(shù)》（第四版）北京大學(xué)編，高等教育出版社，2013 年；
2、《高等代數(shù)》（第二版）黃廷祝等編，高等教育出版社，2016 年。

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