2021北京信息科技大學(xué)814高等代數(shù)研究生考試大綱

發(fā)布時間：2020-12-28 編輯：考研派小莉 推薦訪問：
2021北京信息科技大學(xué)814高等代數(shù)研究生考試大綱

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2021北京信息科技大學(xué)814高等代數(shù)研究生考試大綱 正文

北京信息科技大學(xué)
2021 年碩士研究生入學(xué)考試初試自命題科目考試大綱
考試科目名稱：高等代數(shù)（含解析幾何）
考試科目代碼：814
一、 考試基本要求及適用范圍概述
要求考生比較系統(tǒng)地熟悉高等代數(shù)（含解析幾何）的
基本概念、掌握基本理論和方法。要求考生具有抽象思維
能力、邏輯推理能力、有較強(qiáng)的運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)
的知識分析問題和解決問題的能力。
本考試大綱適用于數(shù)學(xué)一級學(xué)科碩士研究生招生入
學(xué)考試初試。
二、 題型結(jié)構(gòu)
試卷滿分為 150 分，題型包含選擇題、填空題、計算
題和證明題，其中解析幾何占 15 分左右。
三、 考試內(nèi)容
1. 多項式：一元多項式運(yùn)算法則；帶余除法定理，最
大公因式概念及求法(輾轉(zhuǎn)相除法)；不可約多項式概念和
因式分解唯一性定理；重因式、余數(shù)定理，零點(diǎn)(根)定理；
復(fù)/實(shí)系數(shù)多項式的因式分解定理；有理系數(shù)多項式、整系
1數(shù)多項式和本原多項式的概念、性質(zhì)及相互關(guān)系，整系數(shù)
多項式的有理根的求法，Eisenstein 判別法。
2. 行列式：排列及對換的概念，排列奇偶性的概念及
判定；行列式的定義、性質(zhì)及計算方法；行列式按一行（列）
展開，代數(shù)余子式，范德蒙德(Vandermonde)行列式；矩陣
的定義和初等行、列變換，矩陣與行列式的區(qū)別；克拉默
(Cramer)法則及應(yīng)用。
3. 線性方程組：線性方程組的高斯(Gauss)消元法；
向量空間、線性相關(guān)、線性無關(guān)的概念與性質(zhì)；矩陣的 k
級子式，矩陣秩的定義、性質(zhì)及求法，向量組的極大線性
無關(guān)組的求法；線性方程組有解的判定、線性方程組解的
結(jié)構(gòu)。
4. 矩陣：矩陣的基本運(yùn)算，矩陣乘積的行列式與秩；
矩陣的逆的定義、性質(zhì)及求法；矩陣分塊的概念和分塊矩
陣的運(yùn)算，初等矩陣、初等變換與矩陣的秩，分塊乘法的
初等變換及應(yīng)用。
5. 二次型：二次型的矩陣表示，矩陣的合同關(guān)系，對
稱矩陣的概念和性質(zhì)；用非退化線性變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)
形，實(shí)、復(fù)二次型的規(guī)范型，慣性定理與慣性指數(shù)；正定、
半正定二次型的概念、性質(zhì)及判別方法。
6. 線性空間：集合、映射的定義與運(yùn)算性質(zhì)；線性空
間的定義與簡單性質(zhì)；維數(shù)、基與坐標(biāo)的概念和性質(zhì)，基
變換與坐標(biāo)變換；線性子空間的概念和性質(zhì)，子空間的交
2與和的概念及性質(zhì)，子空間的直和的定義及判別準(zhǔn)則；線
性空間的同構(gòu)，同構(gòu)映射的概念和性質(zhì)。
7. 線性變換：線性變換的定義、運(yùn)算及其簡單性質(zhì)；
線性變換的矩陣及其性質(zhì)；矩陣的相似關(guān)系的定義及其性
質(zhì)；特征多項式、特征值與特征向量的定義、性質(zhì)及計算；
線性變換在某一組基下的矩陣為對角矩陣的條件（即矩陣
相似于對角矩陣的條件）；線性變換的值域與核的概念及
性質(zhì)；不變子空間的概念，不變子空間與線性變換矩陣化
簡之間的關(guān)系；若當(dāng)（Jordan）標(biāo)準(zhǔn)形的概念及應(yīng)用；最
小多項式的概念和性質(zhì)及求法。
8. λ-矩陣：λ-矩陣的定義及其秩、逆和初等變換；λ-
矩陣在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)形；行列式因子、不變因子和初
等因子的定義、性質(zhì)及求法；矩陣相似的條件；復(fù)矩陣若
當(dāng)（Jordan）標(biāo)準(zhǔn)形的計算。
9. 歐幾里得空間：歐幾里得空間（含內(nèi)積）的定義與
基本性質(zhì)；歐幾里得空間中基的度量矩陣，正交向量組、
正交基、標(biāo)準(zhǔn)正交基的定義、基本性質(zhì)及相互關(guān)系，施密
特正交化方法；歐幾里得空間的同構(gòu)；正交變換、正交矩
陣的定義和性質(zhì)；子空間的正交關(guān)系；對稱變換、實(shí)對稱
矩陣的性質(zhì)及其標(biāo)準(zhǔn)形的求法。
10. 解析幾何： 向量的線性關(guān)系；向量的內(nèi)積、外積
和混合積；二重外積的計算及相關(guān)理論；平面和直線的各
種方程的建立及其相互關(guān)系，以及度量關(guān)系；了解圖形與
3方程，柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)面方程的建立；二次曲面的方程
及其圖形。
四、 參考書目
1. 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系前代數(shù)小組編，王萼芳，石生明修
訂，高等代數(shù)(第五版)，高等教育出版社，2019 年 5 月。
2.謝冬秀，《解析幾何》，科學(xué)出版社，2009。
4
北京信息科技大學(xué)

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