南京信息工程大學碩士研究生招生入學考試

    考試大綱

    科目代碼：856

    科目名稱：數(shù)學學科基礎(chǔ)

    第一部分目標與基本要求

    數(shù)學學科基礎(chǔ)是教育碩士（數(shù)學方向）入學考試科目之一，是由教育部授權(quán)各教育碩士培養(yǎng)院校自行命題的選拔性考試。本考試大綱的制定力求反映教育碩士（數(shù)學方向）專業(yè)學位的特點，科學、公平、準確、規(guī)范地測評考生的對數(shù)學學科相關(guān)基本理論和基礎(chǔ)知識的系統(tǒng)掌握情況，以及運用數(shù)學基本理論和知識解決實際問題的意識和能力。

    第二部分數(shù)學分析和高等代數(shù)內(nèi)容與考核目標

    數(shù)學分析：

    (一)極限論

    1、透徹理解和掌握數(shù)列極限，函數(shù)極限的概念。掌握并能運用ε-N，ε-X，ε-δ語言處理極限問題。

    2、掌握收斂數(shù)列的性質(zhì)及運算。掌握數(shù)列極限的存在條件(單調(diào)有界準則，迫斂性法則，柯西準則)；掌握函數(shù)極限的性質(zhì)和歸結(jié)原則；熟練掌握利用兩個重要極限處理極限問題。

    3、理解無窮小量和無窮大量的定義、性質(zhì)和關(guān)系，掌握無窮小量階的比較和方法。

    4、理解與掌握一元函數(shù)連續(xù)性的定義(點，區(qū)間)，間斷點及其分類，連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)；理解單側(cè)連續(xù)的概念。

    5、掌握和應(yīng)用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最大最小值性、有界性、介值性、一致連續(xù)性）；掌握初等函數(shù)的連續(xù)性，理解復合函數(shù)的連續(xù)性，反函數(shù)的連續(xù)性。

    6、掌握實數(shù)連續(xù)性定理：閉區(qū)間套定理、單調(diào)有界定理、柯西收斂準則、確界存在定理、聚點定理、有限覆蓋定理。

    7、理解平面點集的基本概念，二元函數(shù)的極限，累次極限，連續(xù)性概念；了解閉區(qū)間的套定理，有限覆蓋定理，多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

    (二)微分學

    1、理解和掌握導數(shù)與微分概念及其幾何意義；能熟練地運用導數(shù)的運算性質(zhì)和求導法則求函數(shù)的導數(shù)(特別是復合函數(shù))。

    2、理解單側(cè)導數(shù)、可導性與連續(xù)性的關(guān)系；掌握高階導數(shù)的求法，導數(shù)的幾何應(yīng)用，微分在近似計算中的應(yīng)用。

    3、熟練掌握中值定理的內(nèi)容、證明及其應(yīng)用；熟練掌握泰勒公式及在近似計算中的應(yīng)用，能夠把某些函數(shù)按泰勒公式展開。

    4、能熟練地運用羅必達法則求不定式的極限；掌握函數(shù)的某些基本特性(單調(diào)性、極值與最值、凹凸性、拐點及漸近線)，能較正確地作出某些函數(shù)的圖象。

    5、掌握偏導數(shù)、全微分、方向?qū)?shù)、高階偏導數(shù)、極值等概念；搞清全微分、偏導數(shù)、連續(xù)之間的關(guān)系；掌握多元函數(shù)泰勒公式；會求多元函數(shù)的極值。

    6、掌握隱函數(shù)的概念及隱函數(shù)的存在性定理；會求隱函數(shù)的導數(shù)；會求曲線的切線方程，法平面方程，曲面的切平面方程和法線方程；掌握條件極值概念及求法。

    (三)積分學

    1、掌握原函數(shù)和不定積分概念；熟練掌握換元積分法、分部積分法、有理式積分法和三角有理式積分法，并能利用它們來求函數(shù)的積分；會計算簡單的無理函數(shù)的積分。

    2、掌握定積分概念及函數(shù)可積的條件；熟悉一些可積分函數(shù)類；掌握定積分與可變上限積分的性質(zhì)；能熟練地運用牛頓-萊布尼茲公式，換元積分法，分部積分法計算一些定積分。

    3、掌握定積分的幾何應(yīng)用；掌握定積分在物理上的應(yīng)用；掌握"微元法"。

    4、掌握廣義積分的收斂、發(fā)散、絕對收斂與條件收斂等概念；.能用收斂性判別法判斷某些反常積分的收斂性。

    5、掌握含參變量定積分的概念與性質(zhì)；掌握含參變量廣義積分的收斂與一致收斂的概念；掌握含參變量廣義積分一致收斂的判別法；熟練應(yīng)用歐拉公式。

    6、掌握兩類曲線積分的概念及計算；掌握兩類曲線積分的性質(zhì)；掌握兩類曲線積分的關(guān)系；掌握格林公式的某些應(yīng)用；會計算曲線積分。

    7、掌握二重、三重積分的概念、性質(zhì)；會計算重積分；會求圖形的面積，體積及物體的質(zhì)量與重心。

    8、掌握兩類曲面積分的概念及計算；掌握兩類曲面積分的性質(zhì)；掌握兩類曲面積分的關(guān)系；會計算曲面積分。

    9、掌握Gauss公式、Stokes公式及其應(yīng)用。

    （四）級數(shù)論

    1、理解無窮級數(shù)的收斂，發(fā)散，絕對收斂與條件收斂等概念；掌握收斂級數(shù)的性質(zhì)；能熟練應(yīng)用正項級數(shù)與任意項級數(shù)的斂散性判別法判斷級數(shù)的（絕對）斂散性；熟悉幾何級數(shù)、調(diào)和級數(shù)與p級數(shù)。

    2、掌握收斂域、極限函數(shù)與和函數(shù)、函數(shù)項級數(shù)與函數(shù)列的一致收斂等概念；掌握極限函數(shù)與和函數(shù)的分析性質(zhì)(會證明)；能夠比較熟練地判斷一些函數(shù)項級數(shù)與函數(shù)列的一致收斂。

    3、掌握冪級數(shù)，函數(shù)的冪級數(shù)及函數(shù)的可展成冪級數(shù)等概念；掌握冪級數(shù)的性質(zhì)；會求冪級數(shù)的收斂半徑與一些冪級數(shù)的收斂域；會把一些函數(shù)展開成冪級數(shù)，包括會用間接展開法求函數(shù)的泰勒展開式。

    4、掌握三角函數(shù)系的正交性與函數(shù)的傅里葉級數(shù)的概念；能正確地敘述傅里葉級數(shù)收斂性判別法；能將一些函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)。

    高等代數(shù)：

    1、線性方程組

    掌握求解線性方程組的Guass消元法，有解判定準則和解的結(jié)構(gòu)定理；熟練掌握行列式性質(zhì)與運算,用行列式解線性方程組的方法,初等變換的性質(zhì),運算以及在求秩、逆矩陣及解線性方程組等方面的應(yīng)用。熟練掌握線性方程組的秩,齊次線性方程組的解空間維數(shù),非齊次線性方程組的一般解之間的關(guān)系,性質(zhì)及求法.

    2、矩陣運算

    了解矩陣及其運算以及和數(shù)域F上向量空間F^n上的線性映射的關(guān)系；熟練掌握矩陣的計算方法和基本性質(zhì)及計算技巧,矩陣的秩與線性方程組的秩的關(guān)系,矩陣法解線性方程組的技巧；初等矩陣與初等變換的關(guān)系及運用技巧,學會線性方程組問題和矩陣問題的對應(yīng)關(guān)系。熟練掌握矩陣的等價、相似、合同的概念和性質(zhì)，以及與線性方程組、線性變換、二次型的關(guān)系，會利用它們解決相關(guān)問題。

    3、線性空間基本理論

    熟練掌握線性空間、線性映射的基本概念和理論，如向量的線性相關(guān)與線性無關(guān)及其性質(zhì)、判斷條件，向量組的秩相關(guān)性質(zhì)及其靈活運用，子空間、不變子空間和直和的定義與性質(zhì)，空間的同態(tài)、同構(gòu)、向量的坐標及其在線性映射的性質(zhì)。掌握空間的分解和分塊陣的關(guān)系，線性空間在解線性方程組中的應(yīng)用。

    4、線性變換的基本性質(zhì)和理論

    熟練掌握線性變換的運算性質(zhì)及特征值、特征向量和特征多項式的定義和計算，線性變換與矩陣的關(guān)系，矩陣相似的概念和判定方法，Jordan標準形的計算應(yīng)用，矩陣對角化的條件和判定方法；掌握線性變換的像與核的概念、性質(zhì)，維數(shù)定理及其應(yīng)用；了解線性變換的最小多項式、矩陣的性質(zhì)和應(yīng)用及有理標準形的定義。

    5、歐幾里得空間基本理論

    掌握歐幾里得空間的基本性質(zhì)，正交基和Schmidt正交化方法以及實對稱矩陣的基本性質(zhì)，正交變換的性質(zhì)及應(yīng)用，掌握將實對稱矩陣通過正交變換化成對角陣的方法；學會將線性方程組問題，矩陣問題，線性變換問題的相互轉(zhuǎn)化，“幾何地”思考理解線性代數(shù)問題。

    6、對稱矩陣和二次型理論

    掌握二次型的基本理論及與矩陣理論的對應(yīng)關(guān)系，掌握正定二次型的性質(zhì)和應(yīng)用及將實二次型化成標準型的方法，以及相應(yīng)的矩陣合同、正定矩陣、對稱方陣的性質(zhì)和運用。了解多重線性代數(shù)的基本性質(zhì)。

    第三部分有關(guān)說明與實施要求

    1、命題說明：數(shù)學分析約占60％，高等代數(shù)約占40%。

    2、參考書目:《數(shù)學分析》（第五版），華東師范大學，高等教育出版社；《高等代數(shù)》（第五版），北京大學，高等教育出版社。

    3、其他規(guī)定：考試方式為閉卷筆試，總分150分，考試時間為180分鐘。

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